Ensembles finis Exemples

$\frac{\log (\sqrt{x \sqrt{x}})}{\log (\sqrt[3]{x})}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{\log (\sqrt{x \sqrt{x}})}{\log (\sqrt[3]{x})}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\log (\sqrt[3]{x}) = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez $\log (\sqrt[3]{x}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \sqrt[3]{x}$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[3]{x} = 10^{0}$ .

$\sqrt[3]{x} = 10^{0}$

Étape 2.2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(10^{0})}^{3}$

Étape 2.2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(10^{0})}^{3}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(10^{0})}^{3}$

Étape 2.2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(10^{0})}^{3}$

Étape 2.2.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(10^{0})}^{3}$

Étape 2.2.3.2.1.2

Simplifiez

$x = {(10^{0})}^{3}$

Étape 2.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.3.1

Simplifiez ${(10^{0})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${(10^{0})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 10^{0 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.3.1.1.2

Multipliez $0$ par $3$ .

$x = 10^{0}$

Étape 2.2.3.3.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x = 1$

Étape 3

Définissez l’argument dans $\log (\sqrt{x \sqrt{x}})$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{x \sqrt{x}} \leq 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{x \sqrt{x}}}^{2} \leq 0^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x \sqrt{x}}$ comme ${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez ${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x \sqrt{x})}^{1} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Simplifiez

$x \sqrt{x} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x \sqrt{x} \leq 0$

Étape 4.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(x \sqrt{x})}^{2} \leq 0^{2}$

Étape 4.4

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Simplifiez ${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1.1.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

${(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Étape 4.4.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Étape 4.4.2.1.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Étape 4.4.2.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Étape 4.4.2.1.1.4

Additionnez $2$ et $1$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Étape 4.4.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Étape 4.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Étape 4.4.2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{3} \leq 0^{2}$

Étape 4.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{3} \leq 0$

Étape 4.5

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} \leq \sqrt[3]{0}$

Étape 4.5.2

Simplifiez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x \leq \sqrt[3]{0}$

Étape 4.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x \leq \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 4.5.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x \leq 0$

Étape 5

Définissez l’argument dans $\log (\sqrt[3]{x})$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[3]{x} \leq 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{x}}^{3} \leq 0^{3}$

Étape 6.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} \leq 0^{3}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} \leq 0^{3}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} \leq 0^{3}$

Étape 6.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} \leq 0^{3}$

Étape 6.2.2.1.2

Simplifiez

$x \leq 0^{3}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x \leq 0$

Étape 7

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x < 0$

Étape 8

Définissez le radicande dans $\sqrt{x \sqrt{x}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \sqrt{x} < 0$

Étape 9

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(x \sqrt{x})}^{2} < 0^{2}$

Étape 9.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Simplifiez ${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1.1.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

${(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Étape 9.2.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Étape 9.2.2.1.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Étape 9.2.2.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Étape 9.2.2.1.1.4

Additionnez $2$ et $1$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Étape 9.2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Étape 9.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Étape 9.2.2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{3} < 0^{2}$

Étape 9.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{3} < 0$

Étape 9.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Étape 9.3.2

Simplifiez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Étape 9.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 9.3.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < 0$

Étape 9.4

Déterminez le domaine de $x \sqrt{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 9.4.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 9.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$x > 0$

Étape 9.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 9.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 2) \sqrt{- 2} < 0$

Étape 9.6.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 9.6.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$(2) \sqrt{2} < 0$

Étape 9.6.2.3

Le côté gauche $2.82842712$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.6.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$x > 0$ Faux

$x < 0$ Faux

$x > 0$ Faux

Étape 9.7

Comme aucun nombre ne se trouve dans l’intervalle, l’inégalité n’a pas de solution.

Aucune solution

Étape 10

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0, x = 1$

$(- \infty, 0] \cup [1, 1]$

Étape 11